【居久屋課程筆記】解開數學教學的陰影：因數與倍數

大家好，我是玉珍老師。今天在「居久屋微醺夜」的直播中，我帶大家一步步解開因數與倍數教學的陰影。我的目標很簡單：把抽象的數學概念變得可見、可操作，讓孩子從動手、說話、到用算式記錄，完整地理解「因數」「倍數」「公因數」「公倍數」以及短除法等核心概念。

為什麼要重視因數與倍數？教學的核心出發點

在多年的教學與觀察中，我發現學生對數字的理解不是一蹴可幾的。從看到「12」這個符號開始，孩子會經歷不同層級的理解：

  • 學前：視為符號或點數（12個小狗）。
  • 低年級：能把數字拆成加法與減法（11+1、8+4）。
  • 中年級：開始理解乘法、除法的模式（1×12、2×6）。
  • 高年級：能同時看到多種算式的關係，並進階到因式分解的理解。

我認為教學的關鍵在於「可見化」與「脈絡化」：讓學生看見數字背後的背景（為什麼 12 可以是 3×4？為什麼 12 可以被 5 整除或不行？），並串起乘、除、因數與倍數之間的系統性關係。

從具體操作到語言表述：用甜甜圈與盒子教因數

一堂好的因數課，從具體操作開始。我常用情境：烤了12個甜甜圈，要把它們平均放進盒子裡，問：「一個盒子可以放幾個？」孩子會透過嘗試錯誤發現可能的分法（1盒12個、2盒6個、3盒4個、4盒3個、6盒2個、12盒1個）。

但操作完還只是第一步。我會引導學生「說出人話」：把操作結果用口語表達，再把它轉換成算式記錄。這是從經驗到抽象的重要橋樑。

讓孩子把操作結果用算式記錄下來，是養成日後歸納數學定理與原則的重要工具。
  • 操作：實際分配甜甜圈到不同盒子（具體操作）。
  • 描述：學生用自己的話說明分完的結果（語言表述）。
  • 記錄：把結果寫成算式，例如 12 ÷ 3 = 4（符號化）。

因數的定義、轉譯與進階連結

當學生能以算式記錄分配結果後，我會提醒老師們重複兩種等價的句式，讓孩子反覆轉換語句：一是「某數可以被哪些數整除？」二是「哪些數是某數的因數？」這樣的語句轉換，對未來學習多項式因式分解有關鍵幫助。

我也強調不要一開始就給學生太多書寫量，重點是要他們懂概念。例如 12 可以被 1、2、3、4、6、12 整除，這些就是 12 的因數；把兩個數的因數找出後，找共同的就是公因數，而其中最大的就是最大公因數（GCD）。

從分解到工具：樹狀圖、短除法與教具運用

當孩子進入分解數字的學習（特別是六年級的短除法單元），我建議先用樹狀圖或具體教具（如百格板、Cuisenaire積木或百德板）來示範，讓他們看見分解的脈絡，再介紹短除法作為一個「工具」。

教學順序建議：

  1. 具體操作與樹狀圖，理解數字分解的脈絡。
  2. 把分解結果轉成算式（例如 12 = 2×2×3）。
  3. 介紹短除法作為加速計算的工具，並強調它只是工具而非理解的全部。

倍數的本質：從乘法表到規律判斷

倍數教學要讓學生知道「倍數不是死記表格，而是有規律可判斷」。我示範了幾個常見規則：

  • 2 的倍數：個位數是 0、2、4、6、8。
  • 5 的倍數：個位數是 0 或 5。
  • 10 的倍數：個位數是 0。
  • 3 的倍數：各位數相加之和能被 3 整除。

教學時，除了讓學生背乘法表，我鼓勵用具體操作（例如擺放積木分組）來發現規律，並用除法檢驗是否為某數的倍數。當孩子能既用乘法直觀理解，又能用除法驗證，倍數的概念就真的紮實了。

公倍數、最小公倍數與數線的視覺化

我常用數線或格紙把倍數視覺化：以 2、3 為單位分格，用不同顏色標示 2 的倍數與 3 的倍數，交集出現的點就是公倍數；最小、最小公倍數（LCM）則是第一個交會的點。

這種做法對於解應用題（例如把長方形紙片拼成正方形、把長度切段等）特別有用，學生能直觀看到「正方形邊長是長與寬的公倍數」的由來。

應用題教學策略：從問題到工具的回溯設計

教學應用題，我的策略是「從情境回到數學核心」：不直接問孩子公式，而是引導他們做具體操作（剪方格紙、排列長條），觀察為什麼某些邊長可行、某些不行，並最終把操作經驗翻譯成「因數」「公因數」「公倍數」等術語。

例如題目：「一張長 20 公分的紙要剪成若干正方形，邊長可以是幾公分？」我會讓學生實際剪出 2、4、5 等長度，並引導他們說出「因為 20 可以被這些數整除」，即回到因數的意義。

數位工具與互動活動的輔助角色

在直播中，我也示範了用簡單的一行指令或互動網頁來快速列出一個數字的因數、公因數與最大公因數。這類工具在練習與自我檢查階段很有幫助，但我強調：工具應該是「檢驗」與「加速」的角色，而非取代學生的思考過程。

因此我的教學推薦是：先用具體教具、操作與語言表述建立概念，再把數位工具放在練習檢核或延伸應用的地位。

教學小結：四個面向陪伴學生走過因數與倍數

回顧今天的內容，我把教學重點整理為四個陪伴面向：

  1. 可見化：從具體操作讓概念「看得見」。
  2. 系統性：串連加減乘除、因數與倍數的脈絡。
  3. 轉譯能力：讓學生能從操作寫成口語，再轉成算式與符號。
  4. 工具運用：把樹狀圖、短除法、數線與數位工具當成不同層次的輔助工具。

我一直相信：如果孩子從操作出發，看見數字的各種面貌，他們就能用更多角度去理解整數世界，不再只是死背，而是活用。

教學延伸與資源

如果你想把今天的方法帶回課堂，建議的教學流程：

  • 課前準備：甜甜圈或紙片、百格紙、積木（百德板/Cuisenaire）。
  • 課堂步驟：操作 → 描述 → 算式記錄 → 規律歸納 → 工具驗證（數位或短除法）。
  • 評量：設計互動題（可用互動網頁）來檢核學生是否能同時用語言與算式表述因數與倍數。

結語：把數學變成孩子願意探究的事物

教學不是把知識硬塞進去，而是設計機會讓學生主動發現。我希望你能把因數與倍數的教學，當作一個連接生活、語言與符號化思考的旅程。從甜甜圈的分盒子到數線的視覺化，再到短除法的工具化，每一步都是為了讓孩子更有信心地面對更高年級的分解與因式概念。

感謝你陪我一起拆解教學的陰影。下次直播我們會繼續解鎖數學教與學的另一個面向，期待再次相見。

 

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